简谈浮点数

珍爱生命，远离浮点数

这句话绝不是空穴来风，而是一个经验之谈。这里我们将讨论浮点数的精度问题以及一些其他的浮点数问题。

浮点数

浮点数是一种数据类型，用来表示小数。

根据 IEEE 754 标准，浮点数可分为符号位（sign bit）、指数位（exponent bits）、尾数位（fraction bits）三部分。

浮点数的原理类似于科学计数法，即按照指数和尾数的形式表示浮点数。所以可以表示很大或很小的数字。

然而，浮点数真的足够精确吗？

精度问题

很遗憾，浮点数还不够精确。

由于浮点数的存储方式，只有有限的数可以被精确表示，而我们常见的 0.1 和 0.2 等并不能以有限的二进制方式表达，而是在小数部分的末尾多了个“尾巴”。

由于这个特性，很多数学运算都会出现精度问题。

比如最经典的一个例子：

#include <stdio.h>

int main()
{
    printf("%.17f\n", .1 + .2);
    return 0;
}

最终得到的结果：

0.30000000000000004

更多内容可以参考 这个网站。

其他问题

• +0.0 和 -0.0

  在计算机中，由于符号位的存在，所有的浮点数都是有符号的，包括 +0.0 和 -0.0，而这两个浮点数的表示不同。

• inf 和 NaN

  计算机中有两种特殊的浮点数：inf 和 NaN，inf 表示正无穷，-inf 表示负无穷，NaN 表示不是数字的值。

  当遇到非常大的浮点数时，其会被转换为 inf，比如 1e400。当遇到非数字的值时，其会被转换为 NaN，比如 inf - inf。

  IEEE 754 标准“贴心”地提供了它们的计算法则：

  • inf + inf = inf
  • inf - inf = NaN
  • inf * inf = inf
  • inf / inf = NaN
  • inf * 0 = NaN
  • NaN == NaN = false
  • NaN < NaN = false
  • NaN > NaN = false
  • ...

  其中，NaN 经过任何运算都会变成 NaN，但 NaN 不等于 NaN。

  这样的计算特性也带来了一些问题，比如：

  • 在复杂的浮点数计算中，inf 和 NaN 会在计算过程中不断传递，导致得不到预期的结果。

解决方案

1. 化“浮”为“整”

   最经典的例子是处理货币问题，我们可以把金额转换为更小的单位。比如：

   #include 
   
   int main()
   {
       printf("请输入金额（分）：");
       int money = 0;
       scanf("%d", &money);
       printf("请输入实付金额（分）：");
       int real_money = 0;
       scanf("%d", &real_money);
       int return_money = real_money - money;
       printf("应退金额：%d分\n", return_money);
       printf("即%.2f元\n", (double)return_money / 100.0);
       return 0;
   }

2. 使用 decimal 库

   在 C++ 中，我们可以使用 decimal 库来解决这个问题。

   #include 
   #include 
   
   int main()
   {
       std::cout << "请输入金额（元）：";
       decimal::Decimal money;
       std::cin >> money;
       std::cout << "请输入实付金额（元）：";
       decimal::Decimal real_money;
       std::cin >> real_money;
       decimal::Decimal return_money = real_money - money;
       std::cout << "应退金额：" << return_money << "元\n";
       return 0;
   }

   在其它语言中也可以使用 decimal 库，这里请读者自行查阅相关文档。